Раскраска дорога

Доказательства

До демонстрации Трахтмана в 2009 году были доказаны особые случаи, в частности О’Брайен и Джаркко Кари.

Простой случай

В частном случае простой аргумент дает простую демонстрацию: это случай, когда есть цикл вокруг вершины в графе. Пусть такая вершина будет. Поскольку граф сильно связан, существует остовное дерево с корнями, в котором все дуги указывают на него . Достаточно раскрасить дуги этого дерева в один цвет R, чтобы получить синхронизирующую раскраску: последовательность дуг R, где — количество вершин, ведет из любой вершины в . Эта простая идея становится, более тщательно продуманной, одной из основ демонстрации, данной Трахтманом.
р{\ displaystyle r}р{\ displaystyle r}р{\ displaystyle r}нет{\ displaystyle n}нет{\ displaystyle n}р{\ displaystyle r}

Расширение этого случая является результатом О’Брайана: если граф не состоит из нескольких дуг и имеет схему, длина которой является простым числом, то он имеет раскраску, синхронизирующую со всеми стрелками этой схемы того же цвета.

Стабильная пара

Кулик, Кархумяки и Кари определили операцию редукции, которая позволяет в некоторых случаях продемонстрировать результат по индукции; это понятие стабильной пары.

Два состояния и образуют стабильную пару, если для любого слова есть такое слово, что продукт лидирует и находится в том же состоянии. В синхронизирующем автомате любая пара состояний устойчива. Если — стабильная пара, то любая пара стабильна; более того, если и — две стабильные пары, то является стабильной парой: отношение si, следовательно, является отношением эквивалентности и фактически конгруэнцией (если, то ). Заявление таково:
s{\ displaystyle s}т{\ displaystyle t}Икс{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Иксy{\ displaystyle xy}s{\ displaystyle s}т{\ displaystyle t}(s,т){\ displaystyle (s, t)}(s⋅ш,т⋅ш){\ Displaystyle (s \ cdot ш, т \ cdot ш)}(s,т){\ displaystyle (s, t)}(т,р){\ Displaystyle (т, г)}(s,р){\ displaystyle (s, r)}s≡т{\ Displaystyle с \ экв т}(s,т){\ displaystyle (s, t)}s≡т{\ Displaystyle с \ экв т}s⋅Икс≡т⋅Икс{\ Displaystyle s \ CDOT х \ эквив т \ CDOT х}

Чулик, Кархумяки и Кари  —  Если автомат, полученный слиянием стабильных пар, имеет синхронизирующую раскраску, то у стартового автомата она также есть.

Следствие от Кари:

Кари  —  направлено Эйлерово граф имеет синхронизации окраски.

Если автомат, полученный объединением стабильных пар, имеет синхронизирующую раскраску, то и у стартового автомата она есть.

Доказательство Тратмана (набросок)

Доказательство Трахтмана конструктивно и дает алгоритм, который позволяет синхронизировать граф за полиномиальное время. Алгоритм Трахтмана кубический по размеру графа. Алгоритм можно увидеть так: ищем стабильную пару вершин, объединяем пару, ищем синхронизирующую раскраску полученного меньшего графа, затем возвращаем раскраску к стартовому графу: если в стартовом графе, в фактор-графе есть стрелка и нет дуги, в фактор-графе есть дуга по цвету  ; мы обмениваемся цветами и дугами, начиная с .
(s,т){\ displaystyle (s, t)}(s,против,т){\ displaystyle (s, c, t)}(s¯,против,т¯){\ displaystyle ({\ bar {s}}, c, {\ bar {t}})}(s¯,d,т¯){\ displaystyle ({\ bar {s}}, d, {\ bar {t}})}d≠против{\ displaystyle d \ neq c}против{\ displaystyle c}d{\ displaystyle d}s{\ displaystyle s}

Для того, чтобы найти стабильную пару, рассмотрим граф, состоящий из дуг фиксированного цвета R . Это функциональный граф с дугой, и только одна выходит из каждой вершины. Каждый компонент связности, называемый кластером (англ. Cluster ), состоит из схемы и набора деревьев, привитых к этой схеме. Уровень саммита является его расстояние от вершины цепи. Максимальный пик — это пик максимального уровня. Это лист древовидной структуры (кроме случая, когда все вершины имеют уровень 0).

Важнейшее наблюдение Трахтмана заключается в следующем:

Если все максимальные вершины принадлежат одному дереву, то граф имеет стабильную пару. Пусть это дерево будет корнем. Эта пара состоит из предыдущей вершины в схеме кластера и предыдущей вершины в дереве на пути от максимальной вершины до .р{\ displaystyle r}р{\ displaystyle r}р{\ displaystyle r}р{\ displaystyle r}

Пики и максимальны, а пика нет.п{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}s{\ displaystyle s}

Доказательство теоремы продолжается серией замен ( флипов на английском языке), которые заключаются в замене цветов дуг, выходящих из вершины, для сокращения или разрыва цепей и уменьшения уровней вершин.

Изучение ПДД по раскраскам в детском саду

В ходе раскрашивания малышом рисунка, взрослые должны:

  • объяснять какой сюжет иллюстрирует картинка;
  • что делают персонажи;
  • соблюдают ПДД или нет;
  • узнать, как сделал бы малыш, оказавшись на месте героев.

Важно! В результате такой совместной деятельности ребенок проявит свои творческие способности, приятно и полезно проведет время, поймет и запомнит важные правила. Элементы раскраски безопасность на дороге для детей с текстовым сопровождением можно разложить по файлам и объединить в папку

Рассматривая альбом, малыш будет постоянно освежать в памяти ПДД, запоминать дорожные знаки и их значения. По мере обучения и взросления дошколенка, папка будет пополняться новыми рисунками, стихотворениями, рассказами. К 6-7 годам он составит собственный свод ПДД и будет качественно подготовлен в данной области

Элементы раскраски безопасность на дороге для детей с текстовым сопровождением можно разложить по файлам и объединить в папку. Рассматривая альбом, малыш будет постоянно освежать в памяти ПДД, запоминать дорожные знаки и их значения. По мере обучения и взросления дошколенка, папка будет пополняться новыми рисунками, стихотворениями, рассказами. К 6-7 годам он составит собственный свод ПДД и будет качественно подготовлен в данной области.

Обратите внимание! Для проведения занятия по ПДД для детей можно воспользоваться готовыми раскрасками или сохранить и распечатать подходящие примеры с тематических интернет-ресурсов. Каждому ребенку раздают заготовку с изображением дорожного знака в контексте определенной ситуации:

Каждому ребенку раздают заготовку с изображением дорожного знака в контексте определенной ситуации:

осторожно дети: ребенок, играющий в зоне проезжей части, и приближающаяся машина;
подземный переход: трасса с потоком машин и дети, спускающиеся по ступенькам такого перехода;
регулируемый перекресток: светофор в образе регулировщика и машины, двигающиеся по всем правилам;
дорожные работы: ремонт участка дороги и транспортные средства, следующие в объезд;
дикие животные: осторожные водители, снижающие скорость движения на таких участках трассы и др.

Дидактические игры по ФЭМП в подготовительной группе

После того как детские картинки будут раскрашены, начинается этап совместной работы воспитателя и дошкольников. Воспитатель поочередно с каждым воспитанником обсуждает значение представленного знака, сюжет картинки, персонажей и их действия, зачитывает тематический стишок или загадывает загадку. Остальные дети также участвуют в обсуждении. В заключении воспитатель подводит итог занятия

Называет рассмотренные знаки и их значения, говорит о важности этих знаний для безопасности детей. Далее, работы детей выставляют в уголке ПДД детского садика

Важно! Уже в 3-4 года знакомство ребенка с дорожными знаками будет продуктивным

Знак пешеходного перехода — пример раскраски для занятия в ДОУ

Отношения с автоматами

Синхронизация

Граф с его разметкой — это граф полного детерминированного конечного автомата над алфавитом цветов. Последовательность цветов это слово, и существование синхронизирующего слова сводится к существованию словом такой, как для вершины и любой вершины из . Удобно использовать следующие обозначения: для множества вершин и слова мы обозначаем  ; это набор вершин, достигаемых из суммы путем, помеченного как . Синхронизатор слово есть слово такое, что является точкой. Мы называем рангом слова количество элементов . Таким образом, синхронизирующим словом является слово ранга 1. Автомат, имеющий синхронизирующее слово, сам называется синхронизирующим или также синхронизированным .
В{\ displaystyle A}ш∈В*{\ Displaystyle ш \ в А ^ {*}}ш∈В*{\ Displaystyle ш \ в А ^ {*}}q⋅шзнак равноs{\ displaystyle q \ cdot w = s}s{\ displaystyle s}q{\ displaystyle q}грамм{\ displaystyle G}п{\ displaystyle P}ш{\ displaystyle w}п⋅шзнак равно{п⋅ш∣п∈п}{\ Displaystyle P \ cdot w = \ {p \ cdot w \ mid p \ in P \}}п{\ displaystyle P}ш{\ displaystyle w}ш{\ displaystyle w}Q⋅ш{\ displaystyle Q \ cdot w}ш{\ displaystyle w}Q⋅ш{\ displaystyle Q \ cdot w}

Жетоны

Автомат вылета.

Подсчет рангов хорошо иллюстрирует игра с монетами. Изначально каждое состояние содержит токен. При применении буквы R или B жетоны переходят из одного состояния в другое в соответствии с мастью. После последовательности букв каждое состояние содержит токены, число которых равно количеству состояний, отправленных в это состояние . Тот факт, что в конце все токены находятся в одном и том же состоянии, точно выражает то, что используется слово «синхронизация».
ш{\ displaystyle w}ш{\ displaystyle w}

Изначально каждое состояние содержит токен. Буква B дает второе распределение, буква R — третье, наконец, B — последнее: слово B R B синхронизирует.

Формальное описание

Пусть — конечный сильно связный ориентированный граф, все вершины которого имеют одинаковую исходящую степень . Рассмотрим в алфавит с буквами. Синхронизации окраска (также известная как складные окраски на английском языке) «является маркировкой дуг с буквами, такими как
грамм{\ displaystyle G} k{\ displaystyle k}В{\ displaystyle A}k{\ displaystyle k}грамм{\ displaystyle G}грамм{\ displaystyle G}В{\ displaystyle A}

  1. каждая вершина имеет ровно одну исходящую дугу, несущую данную букву, и что,
  2. для каждой вершины графа существует такое слово on, что все пути из помечены знаком .s{\ displaystyle s}ш{\ displaystyle w}В{\ displaystyle A}грамм{\ displaystyle G}ш{\ displaystyle w}s{\ displaystyle s}

Терминология синхронизирующей раскраски возникла из-за связи между этим понятием и понятием синхронизирующего слова в теории конечных автоматов  : граф с его разметкой — это граф полного детерминированного конечного автомата . Условие синхронизации приводит к существованию слова, такие, как для любой вершины из . Такое слово называется синхронизирующим .
ш∈В*{\ Displaystyle ш \ в А ^ {*}}q⋅шзнак равноs{\ displaystyle q \ cdot w = s}q{\ displaystyle q}грамм{\ displaystyle G}

Чтобы такая раскраска существовала, необходимо, чтобы граф был апериодическим (in) . Теорема о раскраске утверждает, что эта апериодичность также является достаточным условием существования такой раскраски:
грамм{\ displaystyle G} 

Теорема  —  Любой конечный, апериодический, тесно связан ориентированный граф которого все вершины имеют одинаковую степень исходящую имеет синхронизирующую окраску.

Пример

На изображении справа показан ориентированный граф с восемью вершинами, где каждая вершина имеет исходящую степень 2. В этом примере вершины также имеют входящую степень 2, но это не влияет на последовательность. Дуги окрашены в синий ( B ) или красный ( R ) цвет . Свойство синхронизации гласит, что если мы следуем дугам фиксированной последовательности цветов, то всегда попадаем в одну и ту же вершину, независимо от начальной точки. Так :

  • следуя по  порядку по девяти дугам цветного пути «  B R R B R R B R R », мы приходим к желтой вершине, независимо от начальной вершины.
  • аналогично, следуя по  порядку по девяти дугам цветного пути «  B B R B B R B B R », мы приходим к зеленой вершине, независимо от начальной вершины.

Теорема о раскраске утверждает, что для определенной категории графов всегда можно создать раскраску с этим свойством.

Рекомендации

Статьи

Рой Л. Адлер и Benjamen Вайс, Подобие автоморфизмов тора, Coll.  «Мемуары Американского математического общества» ( п о  98)1970 г., ii + 48  п. ( ISBN  978-1-4704-0048-4, математические обзоры  0257315 ).

Г.Л. О’Брайен, «  Проблема раскраски дорог  », Израильский математический журнал, вып.  39, п кость  1-2,девятнадцать восемьдесят один, стр.  145–154 ( DOI  10.1007 / BF02762860 ).

Яркко Кари, «  Синхронизация конечных автоматов на эйлеровых орграфах  », Теоретическая информатика, т.  295, n кость  1-3,2003 г., стр.  223–232 ( DOI  10.1016 / S0304-3975 (02) 00405-X ).

Раджниш Хегде и Камал Джайн, «  Теорема минимума и максимума о гипотезе о раскраске дорог  », Дискретная математика и теоретическая информатика (Proc. EuroComb 2005) ,2005 г., стр.  279–284 ( читать онлайн ).

Карел Чулик, Юхани Кархумяки и Яркко Кари, «Заметка о синхронизированных автоматах и ​​проблеме раскраски дорог», в Developments in Language Theory (Вена, 2001), Springer, Coll.  «Лекции по информатике» ( п о  2295)2002 г.( DOI  10.1007 / 3-540-46011-X_14 ), стр.  175–185.

Авраам Н. Трахтман, «  Проблема раскраски дорог  », Израильский математический журнал, вып.  172, п о  1,2009 г., стр.  51–60 ( DOI  10.1007 / s11856-009-0062-5, arXiv  0709.0099 ).

Авраам Н. Трахтман, «Частично синхронизирующая раскраска», в Ф. Аблаев и Э. У. Майр (ред.), Компьютерные науки — теория и приложения. CSR 2010, Springer, сб.  «Лекции по информатике» ( п о  6072)2010 г.( ISSN  0302-9743, DOI  10.1007 / 978-3-642-13182-0_36 ), стр.  362–370.

Мари-Пьер Беаль и Доминик Перрен, «  Квадратичный алгоритм раскраски дорог  », Дискретная прикладная математика, т.  169,2014 г., стр.  15-29 ( ISSN  0166-218X, DOI  10.1016 / j.dam.2013.12.002, HAL  hal-00627821v2 ).

Мари-Пьер Беаль и Доминик Перрен, гл.  7 «Синхронизированные автоматы», Валери Берте и Мишель Риго (редакторы), Комбинаторика, слова и символьная динамика, Cambridge University Press, сб.  «Энциклопедия математики и ее приложение» ( п о  135)2016 г.( ISBN  978-0-521-51597-9, 9781139924733 и 9781107077027, DOI  10.1017 / cbo9781139924733.008, онлайн-презентация ), стр.  213–240.

Презентаций
  • .
  • .
Оцените статью
Шутник-реалист
Добавить комментарий